Kurba Brachistochrone: 18 hapa (me fotografi)

2024 Autor: John Day | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-30 12:17

Lakorja brakistokrone është një problem klasik i fizikës, që nxjerr rrugën më të shpejtë midis dy pikave A dhe B të cilat janë në lartësi të ndryshme. Edhe pse ky problem mund të duket i thjeshtë, ai ofron një rezultat kundër-intuitiv dhe kështu është interesant për tu parë. Në këtë udhëzues do të mësoni për problemin teorik, do të zhvilloni zgjidhjen dhe më në fund do të ndërtoni një model që demonstron vetitë e këtij parimi të mahnitshëm të fizikës.

Ky projekt është i dizajnuar për nxënësit e shkollave të mesme që të mbulojnë konceptet e lidhura në orët e teorisë. Ky projekt praktik jo vetëm që forcon kuptimin e tyre mbi temën, por gjithashtu ofron një sintezë të disa fushave të tjera për t'u zhvilluar. Për shembull, gjatë ndërtimit të modelit, studentët do të mësojnë rreth optikës përmes ligjit të Snell, programimit kompjuterik, modelimit 3D, frabricimit dixhital dhe aftësive themelore të përpunimit të drurit. Kjo i lejon një klase të tërë të kontribuojë duke ndarë punën mes tyre, duke e bërë atë një përpjekje ekipore. Koha e kërkuar për të realizuar këtë projekt është rreth një javë dhe më pas mund t'i demonstrohet klasës ose studentëve më të vegjël.

Nuk ka mënyrë më të mirë për të mësuar sesa përmes STEM, prandaj ndiqni për të bërë modelin tuaj brachistochrone të punës. Nëse ju pëlqen projekti, votoni për të në konkursin e klasës.

Hapi 1: Problem teorik

Problemi i brakistokroneve është ai që sillet rreth gjetjes së një kurbe që bashkon dy pikat A dhe B që janë në lartësi të ndryshme, ashtu që B nuk është drejtpërdrejt nën A, kështu që rënia e një mermeri nën ndikimin e një fushe gravitacionale uniforme përgjatë kësaj rruge do të arrijnë B në kohën më të shpejtë të mundshme. Problemi u shtrua nga Johann Bernoulli në 1696.

Kur Johann Bernoulli pyeti problemin e brachistochrone, në qershor 1696, lexuesve të Acta Eruditorum, e cila ishte një nga revistat e para shkencore të tokave gjermanofolëse të Evropës, ai mori përgjigje nga 5 matematikan: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus dhe Guillaume de l'Hôpital secila ka qasje unike!

Paralajmërim: hapat e mëposhtëm përmbajnë përgjigjen dhe zbulojnë bukurinë pas kësaj rruge më të shpejtë. Merrni një moment për të provuar dhe menduar për këtë problem, ndoshta ju mund ta prishni atë si një nga këto pesë gjeni.

Hapi 2: Përdorimi i ligjit të Snell për të demonstruar

Një nga qasjet për zgjidhjen e problemit të brakistokroneve është trajtimi i problemit duke tërhequr analogji me Ligjin e Snell. Ligji Snell përdoret për të përshkruar rrugën që një rreze drite do të ndiqte për të marrë nga një pikë në tjetrën, ndërsa kalon nëpër dy media të ndryshme, duke përdorur parimin e Fermat, i cili thotë se një rreze drite do të marrë gjithmonë rrugën më të shpejtë. Një derivim formal i këtij ekuacioni mund të gjendet duke vizituar lidhjen e mëposhtme.

Meqenëse një objekt me rënie të lirë nën ndikimin e fushës gravitacionale mund të krahasohet me një rreze drite që kalon përmes mediave në ndryshim, sa herë që rrezja e dritës takon një medium të ri, rrezja devijon pak. Këndi i këtij devijimi mund të llogaritet duke përdorur ligjin e Snell. Ndërsa dikush vazhdon të shtojë shtresa të dendësive zvogëluese para rrezes së devijuar të dritës, derisa rrezja të arrijë këndin kritik, ku rrezja thjesht reflektohet, trajektorja e rrezes përshkruan kurbën e brakistokroneve. (kurba e kuqe në diagramin e mësipërm)

Lakorja brakistokrone është në fakt një cikloid e cila është kurba e gjurmuar nga një pikë në buzën e një rrote rrethore ndërsa rrota rrotullohet përgjatë një vije të drejtë pa rrëshqitje. Kështu, nëse na duhet të vizatojmë kurbën, thjesht mund të përdorim metodën e mësipërme për ta gjeneruar atë. Një veçori tjetër unike e kurbës është se një topi i lëshuar nga çdo pikë e kurbës do të marrë saktësisht të njëjtën kohë për të arritur në fund. Hapat e mëposhtëm përshkruajnë procesin e bërjes së një eksperimenti në klasë duke ndërtuar një model.

Hapi 3: Modeli praktik i eksperimentit

Modeli përbëhet nga shtigje të prera me lazer që veprojnë si pista për mermerët. Për të demonstruar që kurba e brakistokroneve është rruga më e shpejtë nga pika A në B, ne vendosëm ta krahasojmë atë me dy shtigje të tjera. Ndërsa shumë njerëz do të ndjenin intuitivisht se pjesa më e shkurtër është më e shpejta, ne vendosëm të vendosnim një pjerrësi të drejtë që lidh të dy pikat si rruga e dytë. E treta është një kurbë e madhe, pasi dikush do të mendonte se rënia e papritur do të gjeneronte shpejtësi të mjaftueshme për të mposhtur pjesën tjetër.

Eksperimenti i dytë në të cilin topat lëshohen nga lartësi të ndryshme në tre shtigje brakistokrone, rezulton me arritjen e topave në të njëjtën kohë. Kështu, modeli ynë përmban udhëzues të printuar 3D që ofrojnë shkëmbim të lehtë midis paneleve akrilike duke lejuar kryerjen e të dy eksperimenteve.

Së fundi, mekanizmi i lëshimit siguron që topat të bien së bashku dhe moduli i kohës në fund regjistron kohën kur topat arrijnë në fund. Për të arritur këtë ne kemi ngulitur tre ndërprerës limit që aktivizohen kur topat e shkaktojnë atë.

Shënim: Dikush thjesht mund të kopjojë këtë dizajn dhe ta bëjë atë nga kartoni ose materiale të tjera që janë lehtësisht të disponueshme

Hapi 4: Materialet e nevojshme

Këtu janë pjesët dhe furnizimet për të bërë një model pune të eksperimentit të brachistochrone

HARDWARE:

Dërrasë druri pishe 1 " - dimensionet; 100cm me 10cm

Neodymium Magnetx 4 - dimensionet; 1cm dia dhe 0.5cm lartësi

Filamenti i Printimit 3D- PLA ose ABS janë mirë

M3 Futje me fije x 8 - (opsionale)

M3 Bolt x 8 - 2.5cm e gjatë

Vidë druri x 3 - 6cm e gjatë

Vidë druri 12 - 2.5cm e gjatë

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- këta çelsin do të veprojnë si sistemi i kohës

Butoni i Shtypjes

Ekran LCD

Jumpwire x shumë

Kostoja totale e modelit arriti në rreth 3 0 $

Hapi 5: Shtypja 3D

Disa pjesë të tilla si mekanizmi i lëshimit dhe kutia e kontrollit janë bërë me ndihmën e një printeri 3d. Lista e mëposhtme përmban numrin e përgjithshëm të pjesëve dhe specifikimet e printimit të tyre. Të gjithë skedarët STL jepen në një dosje të bashkangjitur më lart, duke lejuar që dikush të bëjë modifikimet e nevojshme nëse është e nevojshme.

Kutia e Kontrollit x 1, mbushje 20%

Udhëzues x 6, mbushje 30%

End Stop x 1, mbushje 20%

Krah Pivot x 1, mbushje 20%

Mount Pivot x 1, mbushje 30%

Lëshoni Copën x 1, mbushje 20%

Pjesët u shtypën në PLA pasi nuk ka ndonjë stres të veçantë që vepron në copa. Në total u deshën rreth 40 orë printim.

Hapi 6: Prerja e Shtigjeve me Laser

Rrugët e ndryshme që ne projektuam në fusion 360 u eksportuan si skedarë.dxf dhe më pas u prenë me lazer. Ne zgjodhëm akrilik të bardhë të errët me një trashësi prej 3mm për të bërë kthesat. Dikush madje mund ta bëjë atë prej druri me mjete dore, por është e rëndësishme të sigurohet që materiali i zgjedhur është i ngurtë pasi fleksibiliteti mund të ndikojë në mënyrën se si topat rrotullohen poshtë.

6 x Kurba Brachistochrone

2 x Kurba e pjerrët

2 x Kurba e drejtë

Hapi 7: Prerja e drurit

Korniza e modelit është bërë prej druri. Ne zgjodhëm pishën 1 "nga 4" pasi kishim një pjesë të mbetur nga një projekt i mëparshëm, megjithëse mund të përdorni një dru sipas dëshirës së tyre. Duke përdorur një sharrë rrethore dhe një udhëzues ne prerë dy copa druri me gjatësi:

48cm e cila është gjatësia e shtegut

31 cm e cila është lartësia

Ne i pastruam skajet e përafërta duke e lëmuar lehtë në rërësin e diskut.

Hapi 8: Shpimi i vrimave

Para se të vidhosni të dy pjesët së bashku, shënoni trashësinë e drurit në njërin skaj të pjesës së poshtme dhe vendosni në qendër tre vrima të barabarta. Ne përdorëm një copë 5 mm për të krijuar një vrimë pilot në të dyja pjesët e drurit dhe e zbutëm vrimën në pjesën e poshtme për të lejuar që koka e vidës të nxirret në skuqje.

Shënim: Kini kujdes që të mos e ndani copën vertikale të drurit pasi njëra do të shpohet në kokrrën e fundit. Përdorni gjithashtu vida të gjata prej druri pasi është e rëndësishme që korniza të mos dridhet dhe pjesa e sipërme për shkak të fuqisë.

Hapi 9: Ndërtimi i lavamanëve dhe magneteve

Ndërsa fijet në pjesët e printuara 3D priren të lodhen me kalimin e kohës, ne vendosëm të vendosim ngrohje. Vrimat janë pak më të vogla për të lejuar që lavamani të kapet më mirë në plastikë. Ne vendosëm lavamanët M3 mbi vrimat dhe i futëm me majën e një hekuri bashkues. Nxehtësia shkrin plastikën, duke i lënë dhëmbët të futen brenda. Sigurohuni që ato të jenë të barabarta me sipërfaqen dhe të kenë hyrë pingul. Në total ka 8 pika për futjet e filetuara: 4 për kapakun dhe 4 për montimin e Arduino Uno.

Për të lehtësuar montimin e njësisë së kohës, ne vendosëm magnet në kuti, duke e bërë të lehtë shkëputjen nëse ndonjëherë kërkohen ndryshime. Magnetët duhet të orientohen në të njëjtin drejtim para se të shtyhen në vend.s

Hapi 10: Bashkimi i çelsave të kufirit

Tre çelsat limit janë bashkangjitur në njërën anë të njësisë së kohës që shikon në fund të shtigjeve. Kështu, ndërsa topat klikojnë çelsat mund të përcaktoni se cili top arriti i pari dhe të shfaqni kohën në një ekran LCD. Ngjitini në shirita të vegjël teli në terminalet dhe sigurojini ato në çarë me një copë zam CA pasi ato nuk duhet të lirohen pas goditjeve të vazhdueshme.

Hapi 11: Ekrani LCD

Kapaku i njësisë së kohës ka një prerje drejtkëndore për ekranin LCD dhe një vrimë për butonin "start". Ne e siguruam ekranin me pikat e ngjitësit të nxehtë derisa u skuq me sipërfaqen e kapakut dhe fiksuam butonin e kuq me arrën e tij të montimit.

Hapi 12: Instalimi i pajisjeve elektronike

Instalimet elektrike përbëhen nga lidhja e përbërësve të ndryshëm në kunjat e duhur në Arduino. Ndiqni diagramin e instalimeve elektrike të bashkangjitur më sipër për të vendosur kutinë.

Hapi 13: Ngarkimi i Kodit

Kodi Arduino për projektin brachistochrone mund të gjendet i bashkangjitur më poshtë. Ka dy hapje në ndarjen e elektronikës për qasje të lehtë në portën e programimit të Arduino dhe për prizën e energjisë.

Butoni i kuq që është bashkangjitur në krye të kutisë përdoret për të filluar kohëmatësin. Sapo mermerët të rrokullisen poshtë kthesave dhe të shkaktojnë çelsin limit, i cili vendoset në pjesën e poshtme, kohët regjistrohen në mënyrë sekuenciale. Pasi të godasin të tre topat, ekrani LCD shfaq rezultatet, të përafruara me kthesat përkatëse (fotografitë e bashkangjitura më lart). Pasi të keni vënë re rezultatet në rast se kërkohet një lexim i dytë, thjesht shtypni përsëri butonin kryesor për të rifreskuar kohëmatësin dhe për të përsëritur të njëjtin proces.

Hapi 14: Udhëzuesit e printimit 3d

Udhërrëfyesit e shtypur në 3D kishin një bazë materiale prej 3 mm para se të fillonin muret mbështetëse. Prandaj kur panelet akrilike do të rrëshqiteshin në vend do të kishte një hendek midis panelit dhe kornizës prej druri, duke zvogëluar qëndrueshmërinë e shtegut.

Prandaj udhëzuesi duhej të ngulitej me 3 mm në dru. Meqenëse nuk kishim një ruter, e çuam në një punëtori lokale dhe e bëmë atë në një makinë mulliri. Pas pak lëmimi, printimet përshtaten mirë dhe ne mund ta sigurojmë atë me vida druri nga ana. Bashkangjitur më sipër është një shabllon për vendosjen e 6 udhëzuesve në kornizën prej druri.

Hapi 15: Shtimi i ndalesës dhe njësisë së kohës

Meqenëse moduli i kohës ishte një sistem i veçantë, ne vendosëm të bënim një sistem të shpejtë montimi dhe shkëputjeje duke përdorur magnete. Në këtë mënyrë dikush lehtë mund ta programojë atë thjesht duke nxjerrë njësinë. Në vend që të bëjmë një shabllon për të transferuar pozicionin e magnetëve që duhet të nguliten në dru, ne thjesht i lëmë të lidhen me ato në kuti dhe më pas vendosim pak zam dhe vendosim kutinë në copën e drurit. Shenjat e zamit u transferuan në dru duke na lejuar të shpojmë shpejt vrimat në pikat e sakta. Së fundi, bashkoni kapësen e printuar 3D dhe njësia e kohës duhet të përshtatet fort por të jetë në gjendje të shkëputet me një tërheqje të lehtë

Hapi 16: Mekanizmi i Lirimit

Mekanizmi i lëshimit është i drejtpërdrejtë. Përdorni një arrë dhe një rrufe në qiell për të lidhur fort pjesën C me krahun rrotullues, duke i bërë ato një pjesë të sigurt. Pastaj shponi dy vrima në mes të drurit vertikal dhe lidhni montuesin. Kaloni një bosht rrotullues dhe mekanizmi është i plotë.

Hapi 17: Eksperimenti

Tani që modeli është gati, mund të bëni eksperimentet e mëposhtme

Eksperimenti 1

Rrëshqitni me kujdes në panelet akrilike të shtegut të drejtë, kurbën brakistokrone dhe shtegun e pjerrët (në këtë mënyrë për efektin më të mirë). Pastaj tërhiqeni shulën lart dhe vendosni tre topat në krye të kurbës duke u siguruar që ato janë të përafruara në mënyrë perfekte me njëra -tjetrën. Mbajini fort në vend me shulën poshtë. Bëni një student të lëshojë topat dhe një tjetër të shtypë butonin e kuq për të filluar sistemin e kohës. Më në fund vëzhgoni topat që rrotullohen përgjatë shtegut dhe analizoni rezultatet e shfaqura në modulin e kohës. Vendosja e një kamere për të regjistruar pamje me lëvizje të ngadalta është edhe më emocionuese pasi dikush mund ta shohë garën kuadër për kuadër.

Eksperimenti 2

Ashtu si eksperimenti i mëparshëm rrëshqitni në panelet akrilike, por këtë herë të gjitha shtigjet duhet të jenë kurba e brachistonchrone. Kërkojini me kujdes një studenti që t’i mbajë tre topa në lartësi të ndryshme këtë herë dhe shtypni butonin e kuq ndërsa topat lëshohen. Shikoni momentin mahnitës teksa topat rreshtohen në mënyrë perfekte para vijës së finishit dhe konfirmoni vëzhgimet me rezultatet.

Hapi 18: Përfundim

Bërja e modelit brachistochrone është një mënyrë praktike për të parë mënyrat magjike në të cilat funksionon shkenca. Jo vetëm që eksperimentet janë argëtuese për tu parë dhe tërhequr, por gjithashtu ofrojnë një sintezë të aspekteve të të mësuarit. Ndërsa kryesisht një projekt i menduar për nxënësit e shkollave të mesme, si praktikisht ashtu edhe teorikisht, kjo demonstrim lehtë mund të kuptohet nga fëmijët më të vegjël dhe mund të shfaqet si një prezantim i thjeshtuar.

Ne do të donim t’i inkurajonim njerëzit që t’i bëjnë gjërat, qoftë sukses apo dështim, sepse në fund të ditës STEM është gjithmonë argëtues! Gëzuar bërja!

Hidhni një votë në konkursin e klasës nëse ju pëlqejnë udhëzimet dhe lini komentet tuaja në pjesën e komenteve.

Çmimi i Madh në Konkursin e Shkencës në Klasë