Gaussian dhe Parabola për të studiuar flukset ndriçuese LED të një llambë eksperimentale: 6 hapa

2024 Autor: John Day | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-30 12:10

Përshëndetje për të gjithë krijuesit dhe komunitetin aktiv të Instructable.

Këtë herë Merenel Research do t'ju sjellë një problem të pastër kërkimor dhe një mënyrë për ta zgjidhur atë me matematikë.

Unë e kisha këtë problem vetë ndërsa llogaritja flukset LED të një llambë LED RGB që kam ndërtuar (dhe të cilën do të mësoj se si të ndërtoj). Pasi kërkova shumë në internet nuk gjeta një përgjigje, kështu që këtu postoj zgjidhjen.

PROBLEMI

Shumë shpesh në fizikë duhet të merremi me kthesa që kanë formën e shpërndarjes Gaussiane. Po! Curshtë kurba e formës së kambanës e përdorur për të llogaritur probabilitetin dhe na u soll nga matematikani i madh Gaus.

Kurba e Gausit përdoret gjerësisht në aplikimet fizike të jetës reale, veçanërisht kur kemi të bëjmë me rrezatim të përhapur nga një burim ose i marrë nga një marrës, për shembull:

- emetimi i fuqisë së një sinjali radio (p.sh. Wi-Fi);

- fluksi ndriçues i emetuar nga një LED;

- leximi i një fotodiode.

Në fletën e të dhënave të prodhuesit shpesh na jepet vlera aktuale e zonës së Gausit, e cila do të ishte fuqia totale rrezatuese ose fluksi ndriçues në një pjesë të caktuar të spektrit (p.sh. një LED), por bëhet e vështirë të llogaritet rrezatimi aktual të emetuara në kulmin e kurbës ose edhe më të vështirë për të njohur rrezatimin e mbivendosur të dy burimeve të afërta, për shembull nëse ndriçojmë me më shumë se një LED (p.sh. Blu dhe Jeshile).

Në këtë letër udhëzuese do t'ju shpjegoj se si të përafroni gausishten me një mënyrë kurbë më të lehtë për t'u kuptuar: një parabolë. Unë do t'i përgjigjem pyetjes: sa kthesa Gaussiane janë në një Parabolë?

SPOILER AN P ANRGJIGJA ISSHT:

Zona Gaussian është gjithmonë 1 njësi.

Zona e parabolës përkatëse me të njëjtën bazë dhe lartësi është 2.13 herë më e madhe se zona relative Gaussiane (shiko foton për demonstrimin grafik).

Pra, një Gaussian është 46.94% e parabolës së tij dhe kjo marrëdhënie është gjithmonë e vërtetë.

Këta dy numra janë të lidhur në këtë mënyrë 0.46948 = 1/2.13, kjo është lidhja e rreptë matematikore midis një kurbë Gaussiane dhe parabolës së saj dhe anasjelltas.

Në këtë udhëzues do t'ju çoj ta zbuloni këtë hap pas hapi.

Instrumenti i vetëm që do të na duhet është Geogebra.org, një mjet i shkëlqyer matematikor online për vizatimin e tabelave.

Grafiku Geogebra që kam bërë për të krahasuar një parabolë me një Gaussian mund të gjendet në këtë lidhje.

Ky udhëzues është i gjatë sepse ka të bëjë me një demonstrim, por nëse duhet të zgjidhni shpejt të njëjtin problem që kisha me flukset e ndriçimit LED, ose fenomen tjetër me mbivendosje të kthesave të Gausit, ju lutemi thjesht hidheni në tabelën që do ta gjeni të bashkangjitur në hap. 5 të këtij udhëzuesi, i cili do ta bëjë jetën tuaj më të lehtë dhe automatikisht do të bëjë të gjitha llogaritjet për ju.

Shpresoj se ju pëlqen matematika e aplikuar sepse kjo e udhëzueshme ka të bëjë me të.

Hapi 1: Kuptimi i dritës së emetuar nga një LED monokromatik

Në këtë analizë do të marr parasysh një seri LED me ngjyra, siç e shihni qartë nga grafiku i tyre i spektrit (fotografia e parë) shpërndarja e tyre e fuqisë spektrale duket vërtet si një Gaussian i cili konvergon në boshtin x në -33 dhe +33nm të mesatares (prodhuesit zakonisht jep këtë specifikim). Sidoqoftë, konsideroni që paraqitja e këtij grafiku normalizon të gjithë spektrat në një njësi të vetme të energjisë, por LED -të kanë fuqi të ndryshme në varësi të faktit se sa efikas janë prodhuar dhe sa rrymë elektrike (mA) ju ushqeni në to.

Siç mund ta shihni ndonjëherë, fluksi ndriçues i dy LED mbivendoset në spektër. Le të themi se unë dua të llogaris lehtësisht zonën e mbivendosjes së atyre kthesave, sepse në atë zonë do të ketë sasi të dyfishtë të fuqisë dhe dua të di se sa fuqi në temen e lumenit (lm) kemi atje, mirë që nuk është një detyrë e lehtë do të përpiqemi t'i përgjigjemi në këtë udhëzues. Problemi lindi sepse kur po ndërtoja llambën eksperimentale me të vërtetë doja të dija se sa spektri blu dhe jeshil mbivendosen.

Ne do të përqëndrohemi vetëm në LED -të njëngjyrëshe që janë ato që lëshojnë në një pjesë të ngushtë të spektrit. Në tabelë: BLU ROYAL, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, KUQ. (Llamba aktuale që ndërtoj është RGB)

HISTORIKU FIZIK

Le të kthehemi pak prapa dhe të bëjmë pak shpjegime të fizikës në fillim.

Çdo LED ka një ngjyrë, ose më shkencërisht do të thoshim që ka një gjatësi vale (λ) që e përcakton atë dhe e cila matet në nanometra (nm) dhe λ = 1/f, ku f është frekuenca e lëkundjes së fotonit.

Pra, ajo që ne e quajmë KUQ është në thelb një bandë (e madhe) fotonesh që luhaten në 630nm, ato fotone godasin materien dhe kërcejnë në sytë tanë, të cilët veprojnë si receptorë, dhe më pas truri juaj përpunon ngjyrën e objektit si të KUQ; ose fotonet mund të shkojnë direkt në sytë tuaj dhe ju do të shihni LED që i lëshon ato të ndezura me ngjyrë të KUQ.

U zbulua se ajo që ne e quajmë dritë është në fakt vetëm një pjesë e vogël e Spektrit Elektromagnetik, midis 380nm dhe 740nm; kështu që drita është një valë elektromagnetike. Ajo që është kurioze për atë pjesë të spektrit është se është pikërisht pjesa e spektrit që kalon më lehtë nëpër ujë. Gjeje çfarë? Paraardhësit tanë të lashtë nga Supa Primordial ishin në të vërtetë në ujë, dhe është në ujë ku qeniet e para, më komplekse, të gjalla filluan të zhvillojnë sy. Unë ju sugjeroj të shikoni videon nga Kurzgesagt që kam bashkangjitur për të kuptuar më mirë se çfarë është drita.

Për të përmbledhur një LED lëshon dritë, e cila është një sasi e caktuar e fuqisë radiometrike (mW) në një gjatësi vale të caktuar (nm).

Zakonisht, kur kemi të bëjmë me dritën e dukshme, ne nuk flasim për fuqinë radiometrike (mW), por për fluksin ndriçues (lm), i cili është një njësi matëse e peshuar në përgjigjen ndaj dritës së dukshme të syve të njerëzve, ajo rrjedh nga njësia e matjes së kandelës, dhe ajo matet në lumen (lm). Në këtë prezantim ne do të marrim parasysh lumenët e emetuar nga LED, por gjithçka do të zbatohet për mW saktësisht në të njëjtën masë.

Në çdo fletë të dhënash LED prodhuesi do t'ju japë këto pjesë informacioni:

Për shembull nga kjo fletë e të dhënave e bashkangjitur shihni se nëse i fuqizoni të dy led me 100mA keni atë:

BLUE është në 480nm dhe ka 11lm fluks ndriçues;

GREEN është në 530nm dhe ka 35lm fluks ndriçues.

Kjo do të thotë që Kurba Gaussian e Kaltër do të jetë më e gjatë, do të rritet më shumë, pa modifikuar në gjerësinë e saj dhe do të lëkundet rreth pjesës së kufizuar nga vija blu. Në këtë punim do të shpjegoj se si të llogarisim lartësinë e Gausit që shpreh fuqinë e plotë kulmore të emetuar nga LED, jo vetëm fuqinë e emetuar në atë pjesë të spektrit, për fat të keq kjo vlerë do të jetë më e ulët. Për më tepër, do të përpiqem të përafroj pjesën e mbivendosur të dy LED -ve për të kuptuar se sa fluks ndriçues mbivendoset kur kemi të bëjmë me LED që janë "fqinjë" në spektër.

Matja e fluksit të LED -ve është një çështje shumë komplekse, nëse jeni të etur për të ditur më shumë kam ngarkuar një punim të detajuar nga Osram që shpjegon se si bëhen gjërat.

Hapi 2: Hyrje në Parabolën

Unë nuk do të hyj në shumë detaje rreth asaj që është një parabolë pasi ajo studiohet gjerësisht në shkollë.

Një ekuacion i një parabolë mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

y = ax^2+bx+c

ARKIMEDI NA NDIHMON

Ajo që do të doja të nënvizoja është një teoremë e rëndësishme gjeometrike nga Arkimedi. Ajo që thotë teorema është se zona e një parabole të kufizuar në një drejtkëndësh është e barabartë me 2/3 e zonës së drejtkëndëshit. Në foton e parë me parabolën mund të shihni se zona blu është 2/3 dhe zonat rozë janë 1/3 e sipërfaqes së drejtkëndëshit.

Ne mund të llogarisim parabolën dhe ekuacionin e saj duke ditur tre pika të parabolës. Në rastin tonë, ne do të llogarisim kulmin dhe i dimë kryqëzimet me boshtin x. Për shembull:

Verteksi BLUE LED (480,?) Y i kulmit është i barabartë me fuqinë ndriçuese të emetuar në gjatësinë e valës kulmore. Për ta llogaritur atë, ne do të përdorim marrëdhënien që ekziston midis zonës së një Gaussian (fluksi aktual i emetuar nga LED) dhe asaj të një parabolë dhe ne do të përdorim teoremën e Arkimedit për të ditur lartësinë e drejtkëndëshit që përmban atë parabolë.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODEL PARABOLIK

Duke parë foton që kam ngarkuar ju mund të shihni një model kompleks për të përfaqësuar me parabola disa flukse të ndryshme ndriçuese LED, por ne e dimë se përfaqësimi i tyre nuk është saktësisht i tillë pasi ngjan më shumë me një Gaussian.

Sidoqoftë, me parabola, duke përdorur formula matematikore, ne mund të gjejmë të gjitha pikat e kryqëzimit të disa parabolave dhe të llogarisim zonat kryqëzuese.

Në hapin 5 kam bashkangjitur një tabelë në të cilën kam vendosur të gjitha formulat për të llogaritur të gjitha parabolat dhe zonat e tyre kryqëzuese të LED -ve monokromatike.

Zakonisht, baza e Gausit të një LED është e madhe 66nm, kështu që nëse e dimë gjatësinë e valës mbizotëruese dhe përafrojmë rrezatimin LED me një parabolë, ne e dimë se parabola relative do të ndërpresë boshtin x në λ+33 dhe λ-33.

Ky është një model që përafron një dritë totale të emetuar LED me parabolë. Por ne e dimë se nëse duam të jemi të saktë nuk është saktësisht e drejtë, do të na duhej të përdornim kurbat e Gausit, gjë që na çon në hapin tjetër.

Hapi 3: Hyrje në kurbën Gaussian

Një Gaussian është një kurbë që do të tingëllojë më komplekse sesa një parabolë. U shpik nga Gausi për të interpretuar gabimet. Në fakt, kjo kurbë është shumë e dobishme për të parë shpërndarjen probabiliste të një fenomeni. Për aq sa lëvizim majtas ose djathtas nga mesatarja kemi një fenomen të caktuar më pak të shpeshtë dhe siç mund ta shihni nga fotografia e fundit kjo kurbë është një përafrim shumë i mirë i dukurive të jetës reale.

Formula Gaussian është ajo e frikshme që shihni si fotografia e dytë.

Karakteristikat Gaussian janë:

- është respekt simetrik ndaj mesatares;

- x = μ jo vetëm që përkon me mesataren aritmetike, por edhe me mesataren dhe mënyrën;

- është asimptotike në boshtin x në çdo anë;

- zvogëlohet për xμ;

- ka dy pika lakimi në x = μ-σ;

- zona nën kurbë është 1 njësi (duke qenë probabiliteti që çdo x do të verifikonte)

σ është devijimi standard, sa më i madh numri aq më i gjerë është baza Gaussiane (fotografia e parë). Nëse një vlerë është në pjesën 3σ ne do ta dinim se ajo me të vërtetë largohet nga mesatarja dhe ka më pak mundësi që ajo të ndodhë.

Në rastin tonë, me LED, ne e dimë zonën e Gausit që është fluksi ndriçues i dhënë në fletën e të dhënave të prodhuesit në një kulm të caktuar të gjatësisë së valës (që është mesatarja).

Hapi 4: Demonstrim me Geogebra

Në këtë pjesë do t'ju tregoj se si të përdorni Geogebra për të demonstruar se një parabolë është 2.19 herë Gaussiane e saj.

Së pari ju duhet të krijoni disa ndryshore, duke klikuar në komandën rrëshqitëse:

Devijimi standard σ = 0.1 (devijimi standard përcakton sa e gjerë është kurba e Gausit, vendosa një vlerë të vogël sepse doja ta bëja atë të ngushtë për të simuluar një shpërndarje spektrale të energjisë LED)

Mesatarja është 0, kështu që Gaussian është ndërtuar në boshtin y, ku është më e lehtë të punosh.

Klikoni në funksionin e valës së vogël për të aktivizuar seksionin e funksionit; atje duke klikuar në fx mund të futni formulën Gauss dhe do të shihni që shfaqet në ekran një Lakore e bukur e lartë Gaussian.

Grafikisht do të shihni se ku kurba konvergon në boshtin x, në rastin tim në X1 (-0.4; 0) dhe X2 (+0.4; 0) dhe ku kulmi është në V (0; 4).

Me këtë tre pikë keni informacion të mjaftueshëm për të gjetur ekuacionin e parabolës. Nëse nuk doni të bëni llogaritjen me dorë, mos ngurroni të përdorni këtë faqe interneti ose spreadsheet në hapin tjetër.

Përdorni komandën e funksionit (fx) për të plotësuar funksionin parabolë që sapo keni gjetur:

y = -25x^2 +4

Tani duhet të kuptojmë se sa gausianë janë në një parabolë.

Ju do të duhet të përdorni komandën e funksionit dhe të futni komandën Integral (ose Integrale në rastin tim, siç isha duke përdorur versionin italian). Integrali i caktuar është operacioni matematikor që na lejon të llogarisim zonën e një funksioni të përcaktuar midis vlerave x. Nëse nuk ju kujtohet se çfarë është një integral i caktuar, lexoni këtu.

a = Integral (f, -0.4, +0.4)

Kjo formulë Geogebra do të zgjidhë integralin e përcaktuar midis -0.4 dhe +0.4 të funksionit f, Gaussian. Ndërsa kemi të bëjmë me një Gaussian zona e saj është 1.

Bëni të njëjtën gjë për parabolën dhe do të zbuloni numrin magjik 2.13. Cili është numri kyç për të bërë të gjitha shndërrimet e fluksit të ndritshëm me LED.

Hapi 5: Shembull i jetës reale me LED: Llogaritja e majës së fluksit dhe flukseve të mbivendosura

RRJUSH T L LUMINOZ N AT KUQ

Për të llogaritur lartësinë aktuale të kthesave të trazuara të Gausit të shpërndarjes së fluksit LED, tani që kemi zbuluar faktorin e konvertimit 2.19, është shumë e lehtë.

për shembull:

LED BLUE ka 11lm fluks ndriçues

- ne e konvertojmë këtë fluks nga Gaussian në parabolik 11 x 2.19 = 24.09

- ne përdorim Teoremën e Arkimedit për të llogaritur zonën relative të drejtkëndëshit që përmban parabolën 24.09 x 3/2 = 36.14

- gjejmë lartësinë e atij drejtkëndëshi që ndahet për bazën e Gausit për LED BLUE, të dhënë në fletën e të dhënave ose të parë në tabelën e të dhënave, zakonisht rreth 66nm, dhe kjo është fuqia jonë në kulmin e 480nm: 36.14 / 66 = 0.55

P ORMBAJTJA E ZONAVE T FL RR FLNJES SUM LUMINOZE

Për të llogaritur dy rrezatime të mbivendosura do të shpjegoj me një shembull me dy LED -et e mëposhtëm:

BLUE është në 480nm dhe ka 11lm fluks ndriçues GREEN është në 530nm dhe ka 35lm fluks ndriçues

Ne e dimë dhe shohim nga grafiku se të dy kurbat Gauss konvergojnë në -33nm dhe +33nm, rrjedhimisht ne e dimë se:

- BLUE kryqëzon boshtin x në 447nm dhe 531nm

- GREEN kryqëzon boshtin x në 497nm dhe 563nm

Ne e shohim qartë se të dy kthesat kryqëzohen pasi njëri skaj i së parës është pas fillimit të tjetrit (531nm> 497nm) kështu që drita e këtyre dy LED -ve mbivendosen në disa pika.

Së pari duhet të llogarisim ekuacionin e parabolës për të dy. Tabela e bashkangjitur është atje për t'ju ndihmuar me llogaritjet, dhe ka përfshirë formulat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve për të përcaktuar dy parabola që dinë pikat e kryqëzimit të boshtit x dhe kulmin:

Parabolë BLUE: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parabolë e gjelbër: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

në të dy rastet a> 0 dhe, kështu që parabola është drejtuar drejt përmbys.

Për të vërtetuar se këto parabola janë të drejta, thjesht plotësoni a, b, c në kalkulatorin kulm në këtë faqe interneti të llogaritësit të parabolës.

Në spreadsheet të gjithë llogaritjet janë bërë tashmë për të gjetur pikat e kryqëzimit midis parabolave dhe për të llogaritur integralin e caktuar për të marrë zonat kryqëzuese të atyre parabolave.

Në rastin tonë, zonat kryqëzuese të spektrave LED blu dhe jeshilë janë 0.4247.

Pasi të kemi parabolat ndërprerëse, ne mund të shumëzojmë këtë zonë kryqëzimi të sapokrijuar për shumëzuesin Gaussian 0.4694 dhe të gjejmë një përafrim shumë të afërt se sa energji LED po lëshojnë së bashku në total në atë pjesë të spektrit. Për të gjetur fluksin LED të vetëm të emetuar në atë pjesë, thjesht ndani me 2.

Hapi 6: Studimi i LED -ve Monokromatike të Llambës Eksperimentale Tani Ka Përfunduar

Epo, faleminderit shumë për leximin e këtij hulumtimi. Shpresoj se do të jetë e dobishme për ju të kuptoni thellësisht se si drita lëshohet nga një llambë.

Po studioja flukset e LED -ve të një llambë të veçantë të bërë me tre lloje të LED -ve monokromatike.

"Përbërësit" për të bërë këtë llambë janë:

- 3 LED BLU

- 4 LED GREEN

- 3 LED KUQ

- 3 rezistencë për të kufizuar rrymën në degët e qarkut LED

- Furnizimi me energji 12V 35W

- Mbulesë akrilike e stampuar

- Kontrolli OSRAM OT BLE DIM (njësia e kontrollit LED Bluetooth)

- Ngrohës alumini

- M5 të theksuara dhe arra dhe kllapa L

Kontrolloni gjithçka me aplikacionin Casambi nga smartphone juaj, mund të ndizni dhe zbehni secilin kanal LED veç e veç.

Toshtë shumë e thjeshtë për të ndërtuar llambën:

- lidhni LED në ngrohësin me shirit të dyanshëm;

- lidhni të gjithë LED BLU në seri me një rezistencë dhe bëni të njëjtën gjë me ngjyrën tjetër për secilën degë të qarkut. Sipas LED -ve që do të zgjidhni (kam përdorur Lumileds LED) do të duhet të zgjidhni madhësinë e rezistencës në lidhje me sasinë e rrymës që do të futni në LED dhe tensionin total të dhënë nga furnizimi me energji 12V. Nëse nuk dini si ta bëni këtë, ju sugjeroj të lexoni këtë udhëzues të shkëlqyeshëm se si të përcaktoni madhësinë e një rezistence për të kufizuar rrymën e një serie LEDs.

-lidhni telat me secilin kanal të Osram OT BLE: e gjithë pozitivi kryesor i degëve të LEDs shkon në të zakonshmen (+) dhe tre negativët e degëve shkojnë përkatësisht në -B (blu) -G (jeshile)) -R (e kuqe).

- Lidhni furnizimin me energji elektrike në hyrjen e Osle OT BLE.

Tani ajo që është e lezetshme në lidhje me Osram OT BLE është se ju mund të krijoni skenarë dhe të programoni kanalet LED, siç mund ta shihni në pjesën e parë të videos unë po errësoj tre kanalet dhe në pjesën e dytë të videos po përdor disa skenarë të paracaktuar të dritës.

P CONRFUNDIME

Unë kam përdorur gjerësisht matematikën për të kuptuar thellësisht se si do të përhapen flukset e këtyre llambave.

Unë me të vërtetë shpresoj se keni mësuar diçka të dobishme sot dhe unë do të bëj çmos për të sjellë në raste të tjera udhëzuese të kërkimeve të thella të aplikuara si ky.

Hulumtimi është çelësi!

Kaq gjatë!

Pietro